奇数は2で割って1余る数、偶数は割り切れる数。
さて、奇数と偶数、どっちが多いんでしょうか。
考え方は自由です。 偶数が多いともいえますし、奇数が多いともいえますし。
数学関連の本では、どちらも同じ数だけある、と書いてあることもあります。 1対1の対応ができるから同じ数だけある、という説明になっています。
そうすると、2の倍数も3の倍数も、同じ数だけあることになります。 そうはいっても、すぐには納得できないのが人情ですよね。
多い少ないを考える前に、「多い」とはなにか、「少ない」とはなにかを決める必要があります。
数学では、ある種の対応の有無で多い少ないを判定します。有限のものに限って言えば、X個とY個を比べればいいのですが、自然数や偶数、倍数などの無限のものについては、個数を比べることができないため、対応を使って判断します。
そして、1対1の対応を作ることができるとき、その2つは同じ数だけあるとみなして扱います。
- 自然数 ( n ) に対し、偶数 ( 2n ) で偶数と自然数の１対１の対応を作ることができるので、自然数と偶数の数は同じ。
- 自然数 ( n ) に対し、奇数 ( 2n-1 ) でこれも同じ。
- 自然数 ( n ) に対し、平方数 ( n times n ) でこれも同じ。
無限にある自然数ですが、実数と自然数を比較すると実数のほうが多くなります。これは対角線論法を使って証明することができます。
