無限小数になる有理数は循環小数になることを証明します。 無限小数になる有理数というのは、 有理数になる小数の中で有限小数でないものになります。
割り算の操作をよく観察すればわかりそうなものですが、 感覚的なものを証明としてしっかり書いてみます。
感覚
たとえば 89 を 13 で小数の位まで順次割った場合、 余りは次のようになります。
\begin{eqnarray*} 89 \div 13 & = & 6 \; \textrm{余り} 11 \\ 110 \div 13 & = & 8 \; \textrm{余り} 6 \\ 60 \div 13 & = & 4 \; \textrm{余り} 8 \\ 80 \div 13 & = & 6 \; \textrm{余り} 2 \\ 20 \div 13 & = & 1 \; \textrm{余り} 7 \\ 70 \div 13 & = & 6 \; \textrm{余り} 5 \\ 50 \div 13 & = & 3 \; \textrm{余り} 11 \\ 110 \div 13 & = & 8 \; \textrm{余り} 6 \end{eqnarray*}7 回目 の割り算で 1 回目 と同じ余りが出てきました。 13 で 割った時の余りの数は 1 から 12 の 12 種類しかありませんから、 13 回 割り算をやっても割り切れなかったら どこかで同じ余りが出ていて循環小数になることがわかります。
