証明: $\sqrt{2}$ は無理数

2015年10月04日 Kenji

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有理数の定義は既知とします。有理数でない実数を無理数といいます。

ここでは $\sqrt{2}$ が無理数であることを証明します。

証明

背理法で証明する。

$\sqrt{2}$ が有理数だと仮定すると、ある互いに素な自然数 $m, n$ が存在して次のように書ける。

$\sqrt{2} = \frac{m}{n}$

これより

\[ 2n^2 = m^2 . ]

左辺 ( 2 n^2 ) は偶数なので ( m^2 ) も偶数。即(すなわ)ち自然数 $k$ を用いて $m = 2k$ と書くことができ、

$\begin{array}{crcl} & 2 n ^2 & = & ( 2k )^2 \\ & & = & 4k^2 \\ \Leftrightarrow & n^2 & = & 2k^2 \end{array}$

これより $n$ も偶数だが、 $m, n$ が互いに素であることに反する。よって $\sqrt{2}$ は無理数。

同様に、 $n$ が素数となるときの $\sqrt{n}$ が無理数になることも証明できます。

一般的に $b$ が平方数でないとき、 $a \sqrt{b} \; (a, b \in \mathbb{N})$ は無理数になります。有理数と無理数の積は無理数になりますので、 $\sqrt{b}$ が無理数になることを証明すれば十分です。また、 $b$ に 2回かけられている素因子はルートの外に出せるので、 $b$ が素数の積になっている場合のみ証明すれば十分です。

証明

$b$ が $k$ 個の異なる素数 $b_1, b_2, \cdots , b_k$ を用いて次のように素因数分解されるとする。

\[ b = b_1 b_2 \cdots b_k ]

$\sqrt{b}$ が有理数だと仮定すると、ある互いに素な自然数 $m, n$ が存在して次のように書ける。

$\sqrt{b} = \frac{m}{n}$

これより

$b n^2 = m^2$

左辺 $b n^2$ は $b_1, b_2, \cdots, b_k$ を素因子に含むので、右辺 $m^2$ も $b_1, b_2, \cdots, b_k$ を素因子に含む。すなわち $m$ は適当な自然数 $c$ を用いて

$\begin{eqnarray*} m & = & c b_1 b_2 \cdots b_k \\ & = & cb \end{eqnarray*}$

と書くことができる。従(したが)って

$\begin{array}{crcl} & b n^2 & = & ( cb )^2 \\ & & = & c^2 b^2 \\ \Leftrightarrow & n^2 & = & c^2 b \end{array}$

$m$ と同様にして $n$ も $b$ の倍数となるが、これは $m, n$ が互いに素であることに矛盾する。

以上より $\sqrt{n}$ は $n$ が平方数の場合のみ有理数(整数)になることがわかります。

今回はルートについて証明を行いましたが $\sqrt[m]{n} \; (m, n \in \mathbb{N})$ についても同様に証明できます。

補足命題

有理数と無理数の積は無理数である。

証明

背理法で証明する。

$p, q, r, s$ を整数、 $x$ を無理数として、有理数 $\frac{p}{q}$ と無理数 $x$ の積が有理数 $\frac{r}{s}$ になると仮定する。このとき

$\frac{p}{q} = x \cdot \frac{r}{s}$

となる。式変形して

$x = \frac{ps}{qr}$

となるが、右辺が有理数となり、 $x$ が無理数であることに矛盾する。

以上より有理数と無理数の積は無理数。

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