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サッカーボールと正多面体


サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する では サッカーボールに使われている 5角形と6角形 の数を計算しました。 ここではその面の数について、別の方面から考えてみます。 オイラーの定理は使いません。

サッカーボール
サッカーボール

6角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある6角形の中心を頂点とする多面体を考えます。 その多面体は1つの面が正5角形になり、また正5角形だけからなる立体です。 これは正12面体になりますね。

正12面体

正12面体の面の数は、サッカーボールに含まれる正5角形の数と同じになります。 これよりサッカーボールの正5角形は12個とわかります。

正12面体の頂点の数は、正6角形の数と同じになります。 頂点の数は \( 5 \times 12 \div 3 = 20 \) です。

これよりサッカーボールの面の数は

\[ 12 + 20 = 32 \]

です。

サッカーボールの辺の数は、5角形と6角形の辺の数を足して、重複を取り除くことで

\[ ( 5 \times 12 + 6 \times 20 ) \div 2 = 90 \]

と計算できます。

サッカーボールの頂点の数は、1つの頂点を3つの図形で共有していることから

\[ ( 5 \times 12 + 6 \times 20 ) \div 3 = 60 \]

と計算できます。

正6角形の中心を頂点として多面体を考えましたが、5角形の中心を頂点として考えることもできます。

5角形の中心を結ぶ

サッカーボールにある5角形の中心を頂点とする多面体は正20面体になります。 作り方から考えてわかりますが、これは上で見た正12面体の面の中心を頂点とした多面体と同じです。

正20面体
正20面体

切頂多面体

正20面体の頂点を切ってみましょう。

正20面体の頂点を切ると、サッカーボールの形になります。 この頂点を切った正20面体のことを、切頂正20面体または切頭正20面体と呼びます。

正12面体も頂点を切ることでサッカーボールの形にできますが、深く切る必要があります。

正12面体

オイラーの多面体定理を証明する


オイラーの多面体定理を考えてみましょう。

オイラーの多面体定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

平面上の図形においてもこの式は成り立つ。

今回はこの式が本当に正しいのか検証してみようという趣旨です。 オイラーの式は平面上で成り立つ式なので、平面上で考えます。 多面体は平面図形に置き換えられるので、 平面図形でオイラーの式が成り立てば 多面体でも成り立つことになります。

多面体を平面に投影する

多面体は平面図形に投影することができます。

左の4面体は右のように平面に投影できます。 4面体の面は4角形になったのが3つ、残る面はまわりのエリアです。 点と線で 4つの区域に分けられていますね。

証明

平面上に描かれた点と線を考えます。 線の両端が点だと考えてください。 全ての線は点を介してつながっているものとし、点以外では線がつながらないものとします。 線は曲線も含みます。

数学的帰納法で考えます。 点の数を \( V \) 、 線の数を \( E \) 、 面の数を \( F \) とします。 \( V – E + F = 2 \) を証明すればOKです。

\( E = 1 \) のとき

辺 \( E \) は 1, 面 \( F \) は 1, 点 \( V \) は 2 です。

\[ V – E + F = 2 – 1 + 1 = 2 \]

オイラーの式は成立しています。

\( E = k \in \mathbb N \) でオイラーの式が成り立つとき

\( E = k \) でオイラーの式が成立するときの \( E \) 、 \( V \) 、 \( F \) の値をそれぞれ \( E_k \) 、 \( V_k \) 、 \( F_k \) とすると、次の式が成り立ちます。

\[ V_k – E_k + F_k = 2 \]

ここで \( V_k \) 、 \( F_k \) の値は \( k \) によって一意に定まるものではなく、 あくまで前提とした条件での値です。

図形に線を足す場合を考えます。 線は点を介してつながっているので、新しく引く線は両端または一方の端が既存の線とつながります。

線の一方のみが既存の点に接続する場合

点が新たに1つ増えるので \( V = V_k + 1 \) 、 線が新たに1つ増えるので \( E = E_k + 1 \) 、 面の数は変わらないので \( F = F_k \) 。

\begin{array}{cl} & V – E + F \\
= & ( V_k + 1 ) – ( E_k + 1 ) + F_k \\
= & V_k – E_k + F_k \\
= & 2 \end{array}

線の両端が既存の点に接続する場合

新しく線を引く前の状態で、 既存の線は繋がっているため 新しく引く線の片側または両側は線が閉じていることになる。 すなわち線を新しく引くと、 面の数が1増える。

これより 点の数は増えず \( V = V_k \) 、 線の数は1増えて \( E = E_k + 1 \) 、 面の数も1増えて \( F = F_k + 1 \) 。 これは 線の始点と終点が同じ場合も含みます。

\begin{array}{cl} & V – E + F \\
= & V_k – ( E_k + 1 ) + ( F_k + 1 ) \\
= & V_k – E_k + F_k \\
= & 2 \end{array}

以上より、 \( E = k \in \mathbb N \) で オイラーの式が成立していれば \( E = k + 1 \) でも成立することが分かる。

よって すべての場合で オイラーの式は成立する。

証明にしてはちょっとゆるい感じがしますが、 式が成り立つことを理解していただけるとうれしいです。

このオイラーの定理を使うと、デカルトの定理も証明できます。 詳細は デカルトの定理を証明する をご覧ください。


サッカーボールで使われている 5角形と6角形 の数を計算する


サッカーボールには、正5角形と正6角形が使われています。 それぞれいくつ使われているのかを考えてみましょう。

オイラーの定理

多面体では次の等式が成り立つ。

頂点の数 – 辺の数 + 面の数 = 2

定理自体の証明は オイラーの多面体定理を考える に記述しました。

これを利用して、 5角形 の数 と 6角形 の数 を計算します。 ( サッカーボールと正多面体 ではオイラーの定理を使わずに計算しました。 )

計算

5角形の数を \( m \) , 6角形の数を \( n \) とします。

サッカーボールは、1つの頂点に3つの図形の点が重なっているため サッカーボール全体で 頂点の数は \(\frac{5m + 6n}{3}\) 。 変の数は \(\frac{5m + 6n}{2}\) 、 面の数は \(m + n\) 。

オイラーの定理より、次の式が成り立つ。

$$ \frac{5m + 6n}{3} – \frac{5m + 6n}{2} + m + n = 2 $$

この等式を簡単にすると

$$ m = 12 . $$

サッカーボールを見ると、 5角形 の周りには 6角形 は5つあり、 6角形 は必ず 3つ の 5角形 に接している。 これより

$$ n = \frac{5 m}{3} = \frac{5 \times 12}{3} = 20 . $$

以上より、 5角形 と 6角形 はそれぞれ 12, 20個 あることがわかる。

デカルトの定理を使っても、同じように計算することができます。 デカルトの定理は 多面体 デカルトの定理を証明するに書きました。

補足

C60 のフラーレンもサッカーボールの形です。 せっかくなので頂点の数が 60 になるのか確かめてみましょう。

$$ \frac{5m + 6n}{3} = \frac{5 \times 12 + 6 \times 20}{3} = 60 . $$

参考

オイラーの定理は下の本にも載っています。 レベル的には中学生向けの ハンドブックです。 私も使っていました。