数学: 円の面積を導出する

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円の面積がなぜ $\pi r^2$ ( $r$ は半径 ) になるのかを説明します。 (使っている図が悪いので後日差し替えます。)

掛け算で三角形の面積を求めるものの、その他の積分計算や極限計算は使わないようにしました。掛け算の記号 ( $\times$ ) を省略することと、文字で数を表していることと、 $x ^2 = x \times x$ と、ルート ( $\sqrt{x}$ は $\sqrt{x} \times \sqrt{x} = x$ となる正の数 ) がわかれば中学校あるいは小学校の算数・数学で理解できると思います。

ここでは話を簡単にするために、半径1の円、単位円を考えます。

円周率の定義

円周率を $\pi$ で表します。この $\pi$ は円において次の式を満たす数とします。

$\textrm{(円周の長さ)} = 2 \pi \times \textrm{(半径)}$

単位円においては、円周が $2 \pi$ となります。

具体的な値としては 3.141592… として知られています。

円の面積を正 $n$ 角形で評価する

内接する正 $n$ 角形と外接する正 $n$ 角形を考えます。 ( $n \geq 3$ )

正 $n$ 角形の面積を $2n$ 個の直角三角形に分割して考えます。

28個の直角三角形に分けられた内接正14角形と外接正14角形

そして $2n$ 分割された直角三角形のうちの一つを取り出して、 $x, y$ を次のように定めます。

$x$ : 内接正 $n$ 角形を分割した直角三角形の、直角と円の中心を結ぶ辺の長さ
$y$ : 内接正 $n$ 角形を分割した直角三角形の、直角を通り円弧に交わる辺の長さ

このとき外接正 $n$ 角形を分割した直角三角形の、直角を通り円に接する辺の長さは相似比から $\frac{x}{y}$ となります。上の図で赤色になっている円弧の長さは、円周 $2 \pi$ を $2n$ 分割した円弧なので $\frac{2 \pi}{2n} = \frac{\pi}{n}$ となります。

三角形の面積を求めて、内接及び外接正 $n$ 角形の面積を求めます。

内接正 $n$ 角形を $2n$ 分割した直角三角形の面積は $\frac{1}{2} xy$ 、外接正 $n$ 角形を $2n$ 分割した直角三角形の面積は $\frac{y}{2x}$ です。

これらを $2n$ 倍すると内接及び外接正 $n$ 角形の面積を求めることができます。

内接正 $n$ 角形 : $nxy$
外接正 $n$ 角形 : $n \frac{y}{x}$

円の面積は内接正 $n$ 角形より大きく外接正 $n$ 角形より小さいですから、円の面積を $s$ とすると次の不等式が成り立ちます。

$nxy \lt s \lt n \frac{y}{x}$

$x , y$ を $n$ で評価する

先ほど $s$ の比較の式を得ることができましたが、このままでは $s$ を求めることはできません。そこで $x$ , $y$ を不等式で評価します。

$x$ の評価

まずは $x$ について評価をします。

円を分割したときの、三角形の辺と円周の交点から鉛直方向に線をひきます。すると円の直径は、鉛直方向の線により $n$ 個に分割されます。

分割された円の直径のうち、一番端の部分、図で言う紫の部分は、直径を単純に $n$ 等分した $\frac{2}{n}$ よりも小さいです。そして $x$ は半径 1 から紫の部分を引いたものに等しいですから、

$1 – \frac{2}{n} \lt 1 – \textrm{(紫)} = x .$

$y$ の評価

$y$ は円弧より短いです。半径1の円の円周は $2\pi$ 、円を直角三角形 $2n$ 個に分割したので、 1, $x$ , $y$ の直角三角形に対応する部分の円弧は $\frac{2 \pi}{2n} = \frac{\pi}{n}$ 。これより

$y \lt \frac{\pi}{n}$

そして $y$ は半径 $x$ の円弧 $x \frac{\pi}{n}$ よりは大きいです。

$x$ は上で見たように $1 – \frac{2}{n}$ より大きいですから、

$\left( 1 – \frac{2}{n} \right) \frac{\pi}{n} \lt x \frac{\pi}{n} \lt y .$

以上より、次の不等式が得られます。

$\left( 1 – \frac{2}{n} \right) \frac{\pi}{n} \lt y \lt \frac{\pi}{n}$

$s$ を $n$ で評価する

正 $n$ 角形で評価した $s$ の式から $x$ , $y$ を消して $s$ を　 $n$ で評価します。。

$nxy \lt s \lt n \frac{y}{x}$

$x$ , $y$ の評価式から、

$\begin{eqnarray*} nxy & \gt & n \left(1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \frac{\pi}{n} \\ & \gt & \left(1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi , \\ n \frac{y}{x} & \lt & n \frac{\frac{\pi}{n}}{1 – \frac{2}{n}} \\ & \lt & \frac{n \pi}{n-2} . \end{eqnarray*}$

以上をまとめると

$\left(1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi \lt s \lt \frac{n \pi}{n-2}$

n が大きくなると右辺と左辺が $\pi$ に近づいていくのがわかりますね。

円の面積を求める

上で得られた式から、円の面積が $\pi$ になりそうだということがわかります。背理法で円の面積が $\pi$ になることを確かめます。

円の面積の上側評価

円の面積が $\pi$ より大きいと仮定して、 $s = \pi + \delta$ ( $\delta \gt 0$ ) とします。

$s \lt n \frac{\pi}{n-2}$ でした。この式を整理すると、

$\begin{eqnarray*} \pi + \delta & \lt & \frac{n \pi}{n – 2} \\ \delta & \lt & \frac{n \pi}{n – 2} – \pi \\ & \lt & \frac{n \pi – \left( n – 2 \right) \pi}{n – 2} \\ & \lt & \frac{2 \pi}{n – 2} \\ \left( n – 2 \right) \delta & \lt & 2 \pi \\ n – 2 & \lt & \frac{2 \pi}{\delta} \\ n & \lt & \frac{2 \pi}{\delta} + 2 \end{eqnarray*}$

となります。上の式はすべての $n$ について成り立つべき関係式なのですが、 $n$ が $\frac{2 \pi}{\delta} + 2$ 以上になると成立せず矛盾します。

よって円の面積は $\pi$ 以下となります。

$s \leq \pi$

円の面積の下側評価

円の面積が $\pi$ より小さいと仮定して、 $s = \pi – \delta$ ( $\delta \gt 0$ ) とします。

$\left(1 – \frac{2}{n} \right) ^ 2 \pi \lt s$ でした。この式を整理すると、

$\begin{eqnarray*} \left( 1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi & \lt & s \\ \left( 1 – \frac{2}{n} \right) ^2 \pi & \lt & \pi – \delta \\ \left( 1 – \frac{2}{n} \right) ^2 & \lt & \frac{\pi – \delta}{\pi} . \end{eqnarray*}$

$n \geq 3$ ですから、

$\begin{eqnarray*} 1 – \frac{2}{n} & \lt & \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} \\ 1 & \lt & \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} + \frac{2}{n} \\ 1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} & \lt & \frac{2}{n} \\ n \left( 1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}} \right) & \lt & 2 \\ n & \lt & \frac{2}{1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}}} \end{eqnarray*}$

となります。上の式はすべての $n$ について成り立つべき関係式なのですが、 $n$ が $\frac{2}{1 – \sqrt{\frac{\pi – \delta}{\pi}}}$ 以上になると成立せず矛盾します。