証明: 無限小数になる有理数は循環小数

無限小数になる有理数は循環小数になることを証明します。無限小数になる有理数というのは、有理数になる小数の中で有限小数でないものになります。

割り算の操作をよく観察すればわかりそうなものですが、感覚的なものを証明としてしっかり書いてみます。

感覚

たとえば 89 を 13 で小数の位まで順次割った場合、余りは次のようになります。

$\begin{eqnarray*} 89 \div 13 & = & 6 \; \textrm{余り} 11 \\ 110 \div 13 & = & 8 \; \textrm{余り} 6 \\ 60 \div 13 & = & 4 \; \textrm{余り} 8 \\ 80 \div 13 & = & 6 \; \textrm{余り} 2 \\ 20 \div 13 & = & 1 \; \textrm{余り} 7 \\ 70 \div 13 & = & 6 \; \textrm{余り} 5 \\ 50 \div 13 & = & 3 \; \textrm{余り} 11 \\ 110 \div 13 & = & 8 \; \textrm{余り} 6 \end{eqnarray*}$

7 回目の割り算で 1 回目と同じ余りが出てきました。 13 で割った時の余りの数は 1 から 12 の 12 種類しかありませんから、 13 回割り算をやっても割り切れなかったらどこかで同じ余りが出ていて循環小数になることがわかります。

これを長ったらしく書くと証明になります。

証明

無限小数になる有理数、即(すなわ)ち整数でもなく有限小数でもない有理数を、互いに素な自然数 $p, q$ を使って $\frac{q}{p}$ と表します。次のように数列 ${k_n}, {r_n}$ を定義します。

$\begin{eqnarray*} k_n & = & \begin{cases} q \div p \; \textrm{の商} & (n = 0) \\ 10r_n \div p \; \textrm{の商} & (n \geq 1) \end{cases} \\ r_n & = & \begin{cases} q \div p \; \textrm{の余り} & (n = 1) \\ 10r_{n-1} \div p \; \textrm{の余り} & (n \geq 2) \end{cases} \end{eqnarray*}$

すると、分数 $\frac{q}{p}$ は無限小数として

$\begin{array}{cl} & k . k_1 k_2 k_3 \dots k_n \dots \\ = & k + \frac{k_1}{10} + \frac{k_2}{10^2} + \frac{k_2}{10^3} + \dots + \frac{k_n}{10^n} + \dots \end{array}$

と書けます。

今、 $r_n = 0$ なる $n$ が存在すると $\frac{q}{p}$ は有限小数になるのですべての $n$ について $r_n \geq 1$ 。また $p$ で割った時の余りであることから $r \leq p – 1$ 。したがって $p$ 個の余り $r_1, r_2, \dots, r_p$ のうち少なくとも 2 つは一致します。即ち次の式を満たす自然数 $m, n$ が存在します。